Tentukan hasil dari \(\displaystyle \int \frac{e^{3x}-e^{-3x}}{e^{3x}+e^{-3x}} \ dx = \cdots \ ? \)
Pembahasan:
Gunakan teknik integral substitusi. Misalkan \( u = e^{3x}+e^{-3x} \) sehingga diperoleh:
\begin{aligned} u = e^{3x}+e^{-3x} \Leftrightarrow \frac{du}{dx} &= 3e^{3x}-3e^{-3x} \\[8pt] \Leftrightarrow \frac{du}{dx} &= 3(e^{3x}-e^{-3x}) \\[8pt] \Leftrightarrow dx &= \frac{du}{3(e^{3x}-e^{-3x})} \end{aligned}
Dengan demikian,
\begin{aligned} \int \frac{e^{3x}-e^{-3x}}{e^{3x}+e^{-3x}} \ dx &= \int \frac{e^{3x}-e^{-3x}}{u} \cdot \frac{du}{3(e^{3x}-e^{-3x})} \\[8pt] &= \frac{1}{3} \int \frac{1}{u} \ du \\[8pt] &= \frac{1}{3} \ln|u| + C \\[8pt] &= \frac{1}{3}\ln|e^{3x}+e^{-3x}|+C \end{aligned}